Kurt Cobain naît le 20 février 1967 à Aberdeen dans l'État de Washington, non loin de Seattle. Ses parents sont Donald et Wendy Cobain. Il a une s½ur, Kim, de trois ans plus jeune. La famille habite d'abord Hoquiam, puis déménage à Aberdeen alors que Kurt est âgé de six mois.
Le jeune Kurt Cobain s'intéresse très tôt à la musique. Selon sa tante Mari, il commence à chanter des chansons des Beatles dès ses deux ans.
En 1975, ses parents divorcent, un événement qui va le marquer profondément, comme il le répétera souvent dans ses interviews. Selon sa mère, sa personnalité change nettement à partir de ce moment : il devient renfermé, alors qu'il était jusque là un enfant particulièrement extraverti et manifestement heureux de vivre. Dans une interview en 1993, Cobain déclara à propos de cette période : « J'ai eu honte, honte de mes parents, je voulais désespérément avoir une famille classique (...). J'avais besoin de sécurité. ».
Après le divorce, Kurt vit avec sa mère dans un premier temps, puis au bout d'un an emménage chez son père à Montesano, non loin d'Aberdeen. Les choses se passent bien dans un premier temps, jusqu'à ce qu'en 1978 Don Cobain se remarie avec une femme qui a déjà deux enfants. Kurt s'entend très mal avec sa nouvelle belle-famille. Une autre source de conflit entre le père et le fils est le désir de Don de voir son fils réussir dans les sports, pour lesquels celui-ci ne montre aucun intérêt. Kurt finit par céder à la pression de Don en s'inscrivant dans l'équipe de lutte de son collège. Il y réussit correctement, mais déteste l'ambiance qui règne dans l'équipe, ainsi que ses coéquipiers sportifs. Au cours d'une compétition, il se venge en se laissant systématiquement vaincre sans combattre, sous le regard dévasté de son père qui était venu pour l'encourager. Ce type d'incidents qui s'ajoute à d'autres et au refus ou à l'incapacité de Kurt de s'intégrer au reste de la famille décourage définitivement Don Cobain, qui envoie son fils vivre chez d'autres membres de sa famille. Au cours des années suivantes, Kurt va ainsi habiter chez une succession d'oncles et de tantes ainsi que chez ses grands-parents paternels, déménageant souvent plusieurs fois au cours d'une même année scolaire.
À cette vie de famille chaotique s'ajoutent d'autres facteurs qui rendent l'adolescence de Kurt difficile. Il commence à se rendre compte qu'il a d'autres centres d'intérêt que les jeunes de son âge : s'il déteste le sport, ils s'intéresse bien plus que les autres à tout ce qui concerne les arts, ce qui tend à l'isoler. Il découvre aussi son aversion pour les préjugés courants dans les petites villes où il habite. Ainsi, au lycée son amitié pour un étudiant ouvertement gay fait courir des rumeurs sur sa propre homosexualité, ce qui lui vaut l'hostilité de certains adolescents homophobes. Bien qu'il en conçoive d'abord une certaine fierté (« Je ne suis pas gay, même si j'aimerais bien, juste pour faire chier les homophobes. », écrit-il dans l'un de ses carnets personnels), la pression sociale devient trop forte, et il annonce à contre-c½ur à son ami qu'il ne peut plus le voir. Dans une interview accordée en 1993 au magazine The Advocate, Cobain a déclaré qu'il avait l'habitude de peindre à la bombe des slogans tels que « God is gay » (« Dieu est gay ») sur les pick-up autour d'Aberdeen et qu'il a été arrêté en 1985 pour avoir taggé « HOMO SEX RULES » (« Vive le sexe homo ») sur un banc. Cependant, d'après son biographe Charles Cross qui a consulté les archives de la police d'Aberdeen, il avait en réalité écrit « Ain't got no how watchamacallit », phrase absurde jouant sur le nom étrange d'une barre chocolatée.
Cobain finit par trouver un échappatoire à cette vie qui ne le satisfait guère en se passionnant pour la musique, d'abord en découvrant le heavy metal (Aerosmith, Black Sabbath, Kiss,...), puis le punk rock avec des groupes comme Black Flag, MDC ou Flipper. Il fait la connaissance des Melvins, groupe de punk rock basé à Montesano, dont les membres vont devenir ses amis fidèles, et qui influencera plus tard le son de Nirvana.
Au milieu du tenth grade, Kurt emménage à nouveau chez sa mère à Aberdeen. Deux semaines avant la fin de sa dernière année de lycée, il se rend compte qu'il est très loin d'avoir rempli les obligations nécessaires à l'obtention de son diplôme, et décide d'abandonner les études. Il reste chez sa mère sans lui donner l'impression d'envisager de travailler pour contribuer aux dépenses de la maison. Celle-ci décide de lui donner un ultimatum : il doit trouver un travail ou partir. Une semaine plus tard, il retrouve en rentrant ses affaires à l'extérieur de la maison rangées dans des cartons : Wendy Cobain a mis sa menace à exécution. Dans un premier temps, il parvient à se faire ponctuellement héberger chez des amis, voire se glisse discrètement dans la maison de sa mère à l'insu de celle-ci. Grâce à quelques emplois temporaires qu'il trouve à Aberdeen, il finit par gagner de quoi louer un appartement, mais doit le quitter quelques mois plus tard faute de pouvoir payer le loyer. Il affirma plus tard que lorsqu'il ne trouvait pas d'endroit où dormir, il vivait sous un pont au bord de la rivière Wishkah, une expérience qui inspira plus tard la chanson Something in the Way, sur l'album Nevermind. Toutefois, le bassiste de Nirvana Krist Novoselic affirma en 2001 que Cobain n'avait jamais réellement vécu à cet endroit, les conditions le rendant impraticables pour dormir.
Fin 1986, Cobain s'installe avec Matt Lukin (alors bassiste des Melvins et futur membre de Mudhoney) dans une maison délabrée qu'ils louent. Il paie le loyer en travaillant comme homme à tout faire dans un hôtel à une trentaine de kilomètres de là. À l'époque, il se rend fréquemment à Olympia pour assister à des concerts. Il y rencontre sa première petite amie sérieuse, Tracy Marander. Après leur séparation, c'est également à Olympia qu'il rencontre une autre de ses petites amies, Tobi Vail, du groupe Bikini Kill.
